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1.动态规划解决0-1背包问题

0-1背包问题:给定n种物品和一个背包.物品i的种类为wi,价值为vi,背包容量为C.问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?

其中每种物品只有两种选择,即装入背包和不装入背包.

##首先找到最优子结构

 

##然后找到递归关系

 

##算法描述在下

通过递归,将所有的结果值保存在一个矩阵中

/**
 * 动态规划0-1背包算法
 * @author 邹龄晋
 * 答案:15    11001
 */
public class Demo {
    public static void main(String[] args) {
        int [] w = {2,2,6,5,4};//对应重量
        int [] v = {6,3,5,4,6};//对应价值
        
        int c = 10;//总质量
        int [][] m = new int[v.length][c+1];//定义m二维数组用来表示所有的价值,m[j]表示第i物品装入容量为j的背包的最大值
        int [] x = new int[w.length];    //解空间集
        Knapsack(v,w,c,m);
        traceback(m,w,c,x);
        
        System.out.println("m[0][c]="+m[0][c]);
        for(int i=0;i<x.length;i++){
            System.out.print(x+" ");
        }
        System.out.println();
        for(int i=0;i<v.length;i++){
            for(int j=0;j<c+1;j++){
                System.out.print(m[j]+"\t");
            }
            System.out.println();
        }
        
    }
    public static void traceback(int [][]m,int []w,int c,int []x){
        int n = w.length-1;
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(m[c]==m[i+1][c]) x = 0;
            else{
                x = 1;
                c-=w;
            }
        x[n] = (m[n][c]>0)?1:0;
    }
    
    public static void Knapsack(int v[],int w[],int c,int [][]m){
        int n = v.length-1;
        int jMax = Math.min(w[n]-1, c);
        for(int j=0;j<=jMax;j++) m[n][j] = 0;
        for(int j=w[n];j<=c;j++) m[n][j] = v[n];
        
        for(int i=n-1;i>=0;i--){
            jMax = Math.min(w-1, c);
            for(int j=0;j<=jMax;j++)
                m[j] = m[i+1][j];
            for(int j=w;j<=c;j++)
                m[j] = Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-w]+v);
        }
    }

}

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m[0][c]=15
1 1 0 0 1 
0    0    6    6    9    9    12    12    15    15    15    
0    0    3    3    6    6    9    9    9    10    11    
0    0    0    0    6    6    6    6    6    10    11    
0    0    0    0    6    6    6    6    6    10    10    
0    0    0    0    6    6    6    6    6    6    6    

View Code

 看完程序后我们看下面两个图帮助理解