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什么是约瑟夫问题

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

约瑟夫的故事比较残忍，我们把约瑟夫问题改为一个小游戏，游戏规则如下：

　　假设编号为1，2，3...n个人手拉手围坐在一圈，约定编号为k(1<= k <= n)的人开始报数，数到m的人出圈，他的下一位又从1开始报数，数到m的人又出圈，依次类推，直到剩余一个人即为胜出者，由此产生一个出圈编号的序列，

使用循环链表模拟n个人围坐一圈

首先我们定义一个循环链表，由此来模拟n个人围坐在一圈。下面先看下单链表的实现代码

 1 /**
 2  * 单向循环链表
 3  */
 4 class CycleSingleLinkedList{
 5     PersonalNode first = null;
 6     /**
 7      * 向循环链表中添加num个节点
 8      * @param num
 9      */
10     public void add(int num){
11         if(num < 1){
12             System.out.printf("参数不合法");
13             return;
14         }
15         PersonalNode curr = null;
16         for (int i = 1; i <=num; i++) {
17             PersonalNode personalNode = new PersonalNode(i);
18             if(i == 1){
19                 //添加第一个节点
20                 first = personalNode;
21                 curr = first;
22                 curr.setNext(first);
23             }else {
24                 curr.setNext(personalNode);
25                 personalNode.setNext(first);
26                 curr = personalNode;
27             }
28         }
29 
30     }
31 
32 }
33 
34 /**
35  * 人物节点
36  */
37 class PersonalNode {
38     private int no;
39     private PersonalNode next;
40 
41     public PersonalNode(int no){
42         this.no = no;
43     }
44 
45     public int getNo() {
46         return no;
47     }
48 
49     public void setNo(int no) {
50         this.no = no;
51     }
52 
53     public PersonalNode getNext() {
54         return next;
55     }
56 
57     public void setNext(PersonalNode next) {
58         this.next = next;
59     }
60 }

下面我们用图例的方式讲解一下添加n个节点的循环链表的流程，当创建第一个节点时，我们让first和current指向第一个节点，并将current的next指向first节点，以此来形成一个循环。当添加第二个节点时，我们将current的next指针指向第二个节点，第二个节点的next指向first，然后将current后移，即current指向第二个节点，以此类推。

 

现在我们问题的第一步即n个人围坐在一起解决了，下面来实现第二步从第k个人开始数数。第二步比较简单，即让first指针后移k-1次，由此让first指针指向第一个数数的人。但由于first指向的节点需要出圈，这里我们再定义一个helper指针，来指向first指针的前一个节点，即让helper指针首先指向first，依此循环直到helper的next指针等于first(因为是循环链表)。并保持helper指针始终在first指针的前一个节点(只有一个节点时与first指针指向同一个节点)。假设k=2即从第二个人开始数，m=3即数到3的人出圈，如下图所示

 

找到node4的人出圈，这时让helper的next等于first的next，然后让first等于helper的next，如下图所示

 

继续从node1开始数，数到3，即node3出圈，此时指针指向情况如下图

node3出圈后，下一个要出圈的为node1，依此循环，直到helper与first指针指向相同节点，即node2为最后一个要出圈的人。代码如下

 1 /**
 2      * 约瑟夫问题
 3      * @param n n个人围成圈
 4      * @param k 第k个人开始报数
 5      * @param m 数到m的人出圈
 6      */
 7     public void joseph(int n,int k,int m){
 8         //添加n个人
 9         add(n);
10         //helper指针指向first的前一个节点
11         PersonalNode helper = first;
12         while (helper.getNext() != first){
13             helper = helper.getNext();
14         }
15         //找到第k个人
16         for (int i = 0; i < (k-1); i++) {
17             first = first.getNext();
18             helper = helper.getNext();
19         }
20         //数到m的人出圈
21         while (true){
22             if(helper == first){
23                 break;
24             }
25             for (int i = 0; i < (m-1); i++) {
26                 first = first.getNext();
27                 helper = helper.getNext();
28             }
29             System.out.printf("编号为%d的人出圈\n",first.getNo());
30             first = first.getNext();
31             helper.setNext(first);
32         }
33         System.out.println("最后出圈的人是："+first.getNo());
34 
35     }

测试代码

1 public static void main(String []args){
2         CycleSingleLinkedList linkedList = new CycleSingleLinkedList();
3         linkedList.joseph(4,2,3);
4 }

测试结果：

 

 

总结

以上就是实现约瑟夫问题的循环链表解决思路，当然肯定还有很多别的解决思路，欢迎留言探讨，谢谢。